【やさしい】解説!!「データ解析学初級」【②データの扱い/基礎】

こんにちはヤク学長です。

本記事の目的は、「簡単にデータ解析学を理解する」ことを目的としています。

【本記事のもくじ】

まず、「データ解析学」に真剣に取り組むための概要を解説します。
下記の方法で、簡単に概要を抑えることができます。

６．データの扱い
７．一変数データの取り扱い
８．変数の間の相関を見る

それでは、上から順番に見ていきます。
なお、本上記の方法を抑えれば成果が出ます。

・データ解析学を使って、必要な基礎スキルをスムーズに身につけ効率的に学ぶための記事です。

記事の内容は「転載 & 引用OK」問題ありません。

1 ６．データの扱い
2 ７．一変数データの取り扱い
3 ８．変数の間の相関を見る

６．データの扱い

間違ったデータの扱いに注意しよう

論文においては、間違ったデータを使用することが大きな問題となります。以下のような注意点に留意することが必要です。

データの出所を確認する: 論文に使用するデータは、信頼できる情報源から収集する必要があります。データが出所不明である場合や、信頼性に疑問がある場合は、使用しない方がよいでしょう。
データの正確性を確認する: 論文に使用するデータは、正確で信頼性があることが求められます。データが正確であるかどうかを確認するために、複数の情報源から同じデータを収集し、比較することが必要です。
データの分析方法に注意する: データの分析方法に誤りがある場合、間違った結論が導かれる可能性があります。正しい分析方法を使用し、適切にデータを解釈することが必要です。
結果の再現性を確認する: 論文においては、結果の再現性が求められます。データが正確であっても、再現性がない場合は、結論を支持することができません。
データの説明を明確にする: データを使用する場合には、データの説明を明確にすることが必要です。データがどのように収集されたか、何を示しているのかを明確にすることで、誤解を招くことを防ぐことができます。
データの誤りを修正する: 論文において、間違ったデータを使用した場合は、誤りを修正する必要があります。修正方法には、データを再度確認することや、正しいデータに更新することなどがあります。

単位や桁

単位や桁は、データの取り扱いにおいて非常に重要です。間違った単位や桁を使用すると、データの解釈が誤り、誤った判断や結論を導くことがあります。また、データを手作業で扱う場合、誤った単位や桁を入力する可能性が高くなります。

特に、大量のデータを扱う場合や、複数のデータセットを比較する場合は、データの単位や桁を正確に揃えることが重要です。単位が異なる場合は、データを正しい単位に変換する必要があります。また、桁が異なる場合は、データのスケールを揃える必要があります。

また、手作業でデータを扱う場合、入力ミスや誤りが発生する可能性が高くなります。このため、データの入力作業には、入力内容の確認やチェックを行うことが必要です。また、自動的にデータを取り込む方法を使用することで、手作業によるエラーを減らすこともできます。

総じて、データの取り扱いには、データの正確性を確保するために、単位や桁に留意する必要があります。手作業によるデータの取り扱いを必要とする場合でも、入力作業の確認や自動的なデータ取り込みを使用することで、エラーを減らすことができます。

外れ値は、データの平均値から大きく外れた値であり、異常値とも呼ばれます。外れ値が存在すると、データの解釈に誤りが生じたり、統計分析の結果が歪んだりする可能性があります。そのため、外れ値のチェックは、データ分析において非常に重要な作業の一つです。

外れ値のチェック

外れ値のチェック方法には、以下のようなものがあります。

ヒストグラムの確認: データの分布をヒストグラムで表示し、極端に外れた値が存在するかどうかを確認することができます。
箱ひげ図の確認: データの分布を箱ひげ図で表示し、異常値が存在するかどうかを確認することができます。
統計的手法の利用: 統計的手法を用いて、異常値を検出することができます。例えば、平均値からの偏差が大きいデータを異常値として検出する方法があります。
専門家の意見の参考: データ分析に携わる専門家の意見を参考にすることで、異常値を検出することができます。

外れ値のチェックは、データの正確性を確保するために非常に重要です。外れ値が存在する場合は、データの正しい解釈や統計分析を行うために、適切な処理を行う必要があります。

異常値との違い

異常値と外れ値は、似たような意味合いを持ちますが、微妙に異なります。

異常値は、期待される範囲から外れた値のことを指し、外れ値は、データの中で極端に大きな値や小さな値のことを指します。つまり、異常値は期待される範囲内の値でも、データの中でその特性として異常とされるものを指します。一方、外れ値は、データの中で数値的に突出したものを指し、その値が異常なものとして扱われます。

例えば、ある国の平均寿命が70歳であるとすると、80歳以上の高齢者は異常値に該当します。一方で、ある病院において、平均診療時間が30分であるとすると、診療時間が2時間以上の患者は外れ値に該当します。

異常値と外れ値は、データ分析において重要な概念であり、それらが存在する場合は、正しい分析や解釈を行うために、適切な処理を行う必要があります。

除いてよい外れ値かどうか

除いてよい外れ値かどうかは、データ分析の目的や分析手法によって異なります。一般的には、外れ値が極端に大きく外れている場合や、データの大きさに比べて数が少ない場合には、除外することが適切な場合があります。しかし、外れ値が真実のデータである可能性がある場合には、除外することは適切ではありません。

外れ値が除外された場合、データの平均値や標準偏差などの統計量が変化し、データの解釈や統計分析結果が歪む可能性があります。そのため、外れ値を除外する際には、データに関する十分な知識と判断力が求められます。

データ分析においては、外れ値を除外する代わりに、異常値を補正する方法もあります。たとえば、平均値や中央値を用いて異常値を補正する方法があります。ただし、異常値を補正する際には、どのような方法を用いるかについては慎重な判断が必要です。

総じて、除いてよい外れ値かどうかを判断する際には、データの特性や分析目的、分析手法に応じて慎重な判断が必要であり、単純に除外することは避けるべきです。

データの分析操作

データ解釈までの流れ

データ解釈までの一般的な流れは以下の通りです。

問題意識の明確化: データ分析の前に、分析対象とする問題を明確にします。どのような問題に対して、どのようなデータを収集する必要があるかを考えます。
データ収集: 問題意識が明確になったら、必要なデータを収集します。データの収集方法や手段は、分析する問題やデータの性質に応じて選択します。
データの前処理: 収集したデータを整理し、欠損値の処理や外れ値のチェック、データの正規化などを行います。この過程で、データの品質を向上させ、分析結果の信頼性を高めることができます。
データの可視化: データをグラフやチャートなどに可視化し、データの傾向や特徴を把握します。可視化によって、データの構造を理解し、分析結果をより正確に解釈することができます。
データの分析: データの特性や目的に応じた分析方法を選択し、データを分析します。分析結果から、問題の本質を把握し、問題解決に向けたアクションを検討します。
データの解釈: データ分析結果を解釈し、得られた情報を用いて問題解決策を検討します。データの解釈には、分析手法や前提条件、背景などを考慮し、慎重な判断が求められます。
レポートの作成: データ分析の結果をまとめ、報告書やプレゼンテーションなどにまとめます。報告書には、データの解釈や分析結果、問題解決策などを明確に記載し、読み手に伝える必要があります。

以上が、データ解釈までの一般的な流れです。ただし、分析目的や手法、データの特性によって、この流れには変化が生じることもあります。

欠損値

欠損値とは、データの一部が不完全であることを意味し、欠損している値のことを指します。欠損値は、データの収集や保存、転送、変換などの過程で発生する場合があります。欠損値が存在すると、データの分析や解釈に誤りが生じる可能性があります。

欠損値の種類には、以下のようなものがあります。

完全欠損: ある変数の値が一切記録されていない場合を指します。
不完全欠損: ある変数の一部の値が記録されていない場合を指します。
間欠値: 一定の周期でデータの記録がない場合を指します。

欠損値が発生した場合には、欠損値を補完する必要があります。欠損値の補完には、以下のような方法があります。

平均値・中央値・最頻値による補完: 欠損値を平均値、中央値、最頻値などの代表値で補完する方法です。
予測モデルによる補完: 欠損値を予測モデルによって補完する方法です。予測モデルには、回帰分析やK近傍法などがあります。
別のデータからの補完: 欠損値を別のデータから補完する方法です。ただし、この方法はデータの性質によっては適用しない場合もあります。

欠損値の補完方法には、データの性質や分析手法に応じて適切な方法を選択する必要があります。また、補完方法によっては、補完によって生じた誤差が分析結果に影響を与える可能性があるため、注意が必要です。

前処理

前処理（preprocessing）とは、データ分析において、データを整理し、必要な前提条件を整え、解析に適した形式に変換する作業のことを指します。前処理は、データ分析において非常に重要な作業であり、解析結果の精度や信頼性を向上させるために欠かせない作業です。

前処理の主な作業内容には、以下のようなものがあります。

データのクレンジング: データの整合性を確認し、重複したデータや欠損値、異常値を除去するなどの作業を行います。
データの変換: データを解析に適した形式に変換するための作業を行います。例えば、文字列を数値に変換する、日付データを分析しやすい形式に変換するなどの作業が含まれます。
データの正規化: データを同じスケールに揃えるための作業を行います。例えば、身長や体重などの値を、0から1の範囲に正規化することで、比較や分析がしやすくなります。
データの結合・集約: 複数のデータを結合する作業や、集計やサンプリングなどの作業を行います。データの結合や集約により、分析のための大量のデータを処理しやすくすることができます。

前処理の過程で、必要なデータを取捨選択することも重要です。データの選択は、データの品質や目的に合わせて、慎重な判断が必要です。また、前処理の過程で、データの特性や問題点を発見することもできます。これらの情報を基に、適切な解析手法やアプローチを選択することができます。

各処理でエラーをチェックする

各処理でエラーをチェックすることは、データ分析において非常に重要な作業です。エラーチェックを怠ると、誤った結果が出力され、誤った意思決定を引き起こす可能性があります。

具体的に、データ分析における各処理でエラーチェックを行う方法については以下の通りです。

データの収集: データの収集においては、データの信頼性や完全性を確認する必要があります。データの収集方法によっては、誤ったデータが混ざる可能性があるため、入力ミスやデータの抜け漏れをチェックすることが重要です。
データの前処理: データの前処理においては、欠損値や異常値を確認し、処理する必要があります。欠損値や異常値を放置すると、解析結果に誤りが生じる可能性があるため、処理前後のデータの一致を確認することが重要です。
データの分析: データの分析においては、入力されたデータが正しいかどうかを確認する必要があります。入力ミスや異常値によって、解析結果に誤りが生じる可能性があるため、解析結果を検証することが重要です。
データの可視化: データの可視化においては、グラフやチャートなどの表示に誤りがないかどうかを確認する必要があります。データの可視化に誤りがあると、分析結果の解釈が誤ってしまうため、可視化前後でデータの一致を確認することが重要です。

以上のように、データ分析において各処理でエラーチェックを行うことで、データの品質を高め、信頼性の高い結果を得ることができます。

処理コードを統一する

処理コードを統一することは、データ分析において非常に重要です。コードの統一を行うことで、チームでの作業効率を向上させ、コードの可読性や保守性を高めることができます。

具体的に、処理コードを統一するためには、以下のような手順があります。

コーディング規約の策定: チームで共通のコーディング規約を策定し、コードの記述方法を統一することが重要です。規約には、コードのインデントやコメントの書き方、変数名や関数名の命名規則などが含まれます。
テンプレートの利用: コーディング規約に沿ってテンプレートを作成し、新しいコードを作成する際にはテンプレートを使用することで、コードの統一性を高めることができます。
リファクタリング: 既存のコードを定期的にリファクタリングすることで、コードの統一性を高めることができます。リファクタリングには、コードの整理や機能の分割などが含まれます。
コードレビュー: チームでのコードレビューを行うことで、コードの品質を向上させることができます。レビューでは、コードの統一性や可読性、保守性などを確認し、必要に応じて修正することができます。

以上のように、処理コードを統一するためには、チームでの協力と、コーディング規約やテンプレートの活用が必要です。コードの統一性を高めることで、開発効率や品質を向上させ、より良い成果物を生み出すことができます。

７．一変数データの取り扱い

一変数データとは、1つの変数に対するデータのことであり、例えば身長や体重など、単一の属性に対するデータを指します。一変数データの取り扱いには、以下のような手順があります。

データの収集: データの収集方法によっては、誤ったデータが混ざる可能性があるため、入力ミスやデータの抜け漏れをチェックすることが重要です。
データの整理: 収集したデータを整理し、必要な前提条件を整えます。例えば、身長や体重などの値を、単位を揃えたり、データの正規化を行ったりすることが必要です。
データの要約: データの要約を行うことで、データの傾向や特徴を把握することができます。要約の方法としては、平均値、中央値、分散、標準偏差などがあります。
データの可視化: データの可視化により、データの傾向や特徴を直感的に理解することができます。例えば、ヒストグラムや箱ひげ図、散布図などを用いてデータを可視化することができます。
データの解釈: データの解釈を行うことで、データから何らかの意味を抽出することができます。例えば、データの傾向や特徴を分析し、背景にある原因や問題点を明らかにすることができます。

以上のように、一変数データの取り扱いには、データの収集から解釈まで、様々な手順があります。一変数データを正しく取り扱うことで、データ分析の精度や信頼性を向上させることができます。

記述統計量を考える

記述統計量とは、データの性質や特徴を表す指標のことであり、一変数データに対して用いられます。具体的には、以下のような指標があります。

平均値: データの中心的な値を表す指標であり、すべての値を足し合わせて、データの数で割った値です。平均値は外れ値に影響を受けやすいため、外れ値がある場合は注意が必要です。
中央値: データを大きさの順に並べたとき、真ん中の値を表す指標です。外れ値の影響を受けにくいため、データの中央値を用いることもあります。
最頻値: データの中で最も多く出現する値を表す指標です。カテゴリー変数に対して用いることが多く、度数分布表を作成する際にも用いられます。
分散: データのばらつきを表す指標であり、各データの平均値からの差を二乗した値を足し合わせ、データの数で割った値です。分散が大きいほど、データが散らばっていることを示します。
標準偏差: 分散の平方根であり、データのばらつきを表す指標です。分散と同様に、データの散らばり具合を示すことができます。

以上のように、記述統計量はデータの特徴や傾向を理解するために重要な指標です。また、これらの指標を用いてデータを要約し、可視化することで、データ分析の効率や精度を高めることができます。

量的変数・カテゴリ変数・質的変数

データ分析において、変数には大きく分けて量的変数、カテゴリ変数、質的変数の3つがあります。

量的変数: 数値データで表される変数のことを指します。例えば、身長や体重、売上高などが挙げられます。量的変数には、間隔尺度と比例尺度の2種類があります。
カテゴリ変数: ある種類のカテゴリーに分類される変数のことを指します。例えば、性別や血液型、地域などが挙げられます。カテゴリ変数には、名義尺度と順序尺度の2種類があります。
質的変数: 言語や文化的な概念など、定量的に表現できない変数のことを指します。例えば、好みや評価などが挙げられます。質的変数は、定量的に表現できないため、分析の対象となることは少ないです。

データ分析においては、変数の性質に応じて適切な分析手法を選択する必要があります。例えば、量的変数に対しては、平均値や標準偏差などの統計量を用いた分析や、回帰分析などが用いられます。一方、カテゴリ変数に対しては、クロス集計表やカイ二乗検定などの分析手法が用いられます。質的変数に対しては、主観的な評価や質問紙調査などが用いられます。

ばらつきをとらえる統計量

データのばらつきをとらえる統計量には、以下のようなものがあります。

分散: データが平均値からどれだけ離れているかを示す指標であり、データと平均値との差を二乗して、それらの平均値を求めたものです。分散が大きければデータが散らばっていることを示し、小さければデータが集中していることを示します。
標準偏差: 分散の平方根であり、データが平均値からどの程度ばらついているかを表す指標です。分散と同様に、データのばらつき具合を示します。
範囲: データの最大値と最小値の差を示す指標であり、データがどの程度広がっているかを示します。範囲が大きければ、データのばらつきが大きいことを示します。
四分位範囲: データを昇順に並べたとき、中央値より小さい側のデータと大きい側のデータをそれぞれ四分位点と呼びます。四分位範囲は、第3四分位点と第1四分位点の差を示す指標であり、データのばらつき具合を示します。

これらの統計量を用いることで、データのばらつき具合を数値化することができます。データのばらつきが大きい場合、データ分析においては、外れ値や異常値の存在を疑う必要があります。

記述統計量だけにとらわれない

データ分析においては記述統計量だけにとらわれず、データの全体像を把握することが重要です。そのためには、データ可視化が有効です。

データ可視化とは、グラフやチャートなどを用いてデータのパターンや特徴を視覚的に表現することです。例えば、ヒストグラムや箱ひげ図などを用いることで、データの分布やばらつきを視覚的に確認することができます。また、散布図を用いて、複数の変数の間の関係性を視覚的に表現することもできます。

さらに、データ分析においては、データの背景や仮説を持つことも重要です。例えば、ある商品の売上高が低下した場合、その原因を探るために、市場調査やアンケート調査などの外部データを収集し、内部データと照らし合わせることが必要です。

要するに、記述統計量はデータの特徴を把握する上で重要な役割を果たしますが、データ分析においてはそれだけでは不十分であり、データ可視化や外部データの収集など、さまざまな手法を用いてデータを分析することが求められます。

データの分布を考える

分布をみる

記述統計量はデータ分布全体の情報をまとめた指標であり、ざっくりとしたデータの特徴を把握するために有用です。しかし、データの全体像を把握するためには、記述統計量に加えてデータの可視化や、その背景にある情報や仮説に基づく分析が必要です。

例えば、あるデータの平均値が高い場合、そのデータが正規分布に従っている場合はデータの中心が高く、平均的に高い値を示していることが考えられます。しかし、外れ値や異常値が含まれている場合は平均値が大きくなることがあります。そのため、平均値だけでなく、中央値や四分位数、分散などの統計量も確認することが必要です。

また、データにおいては、記述統計量とデータの可視化を組み合わせることが有用です。例えば、ヒストグラムや箱ひげ図などのグラフを用いることで、データの分布やばらつきを視覚的に確認することができます。グラフを見ながら統計量を確認することで、より詳細なデータ分析が可能になります。

ストリッププロット・スウォームプロット

ストリッププロット（Strip Plot）とスウォームプロット（Swarm Plot）は、データ可視化においてよく用いられるグラフの一種です。

ストリッププロットは、データを散布図のように一列に並べて表現するグラフです。データの値ごとに点をプロットし、横軸上に分散するように配置します。データ数が多い場合、点が密集してしまうことがあるため、ジッタリングというテクニックを使って点を少しずつずらして表現することがあります。

一方、スウォームプロットは、データを散布図のように表現するグラフですが、ストリッププロットとは異なり、データを重ならないように配置するように工夫されています。そのため、点の位置や大きさを微調整することで、データの分布や密度をより明確に表現することができます。

どちらのプロットも、個々のデータのばらつきや分布を視覚的に表現することができ、小規模なデータセットの可視化に適しています。ただし、データ数が多い場合や、カテゴリ変数と量的変数の両方を扱う場合は、ヒストグラムや箱ひげ図、散布図などのグラフを使うことが推奨されます。

棒グラフ　エラーバー

棒グラフは、データを棒で表現するグラフの一種であり、カテゴリごとに値を比較するために用いられます。例えば、複数の商品の売上高を比較する場合などに用いられます。

エラーバーは、棒グラフ上に誤差範囲を示すために用いられる線のことで、データのばらつきを表現するために用いられます。エラーバーは、標準偏差、標準誤差、信頼区間などを表すことができます。

たとえば、ある商品の売上高を示す棒グラフにおいて、各店舗ごとに売上高の平均値と標準偏差を計算し、エラーバーを表示することで、各店舗の売上高のばらつきを視覚的に表現することができます。また、グループごとに棒グラフを重ねることで、複数のグループ間での比較を行うこともできます。

エラーバーは、データの信頼性やばらつきを表現するために重要な指標であり、データの解釈に必要な情報を提供します。しかし、エラーバーの描き方や解釈方法には注意が必要であり、正しい統計的手法に基づいた計算が必要となります。

バイオリンプロット

バイオリンプロット（Violin Plot）は、データ分布を箱ひげ図のように表現するグラフの一種です。箱ひげ図と比べて、より詳細な分布の情報を表現することができます。

バイオリンプロットは、カーネル密度推定と呼ばれる手法を用いて、データ分布を推定します。それぞれのデータポイントがバイオリンプロットの内部にカーネル密度曲線として表現され、データ分布の形状やピークの位置、分布の幅などを視覚的に表現することができます。また、箱ひげ図と同様に、中央値や四分位数、外れ値などの情報も併せて表示することができます。

バイオリンプロットは、データの全体像を把握するのに有用なグラフであり、箱ひげ図と比較してより詳細な情報を提供することができます。しかし、データ数が多い場合には視覚的に読み取りにくくなることがあります。また、データが偏っている場合には、カーネル密度推定によって偏りが強調されることがあるため、データの解釈には注意が必要です。

目的に応じた可視化

データ分析においては、目的に応じて最適な可視化方法を選択することが重要です。以下に、一般的なデータ分析の目的に応じた可視化方法をいくつか紹介します。

データの分布を視覚化する場合：ヒストグラム、カーネル密度推定グラフ、箱ひげ図、バイオリンプロット
データの変化を時系列で追跡する場合：折れ線グラフ、棒グラフ、積み上げグラフ
カテゴリ変数と量的変数の関係を視覚化する場合：箱ひげ図、バイオリンプロット、散布図、バブルチャート
複数の変数の関係を視覚化する場合：散布図行列、ヒートマップ、相関行列、ツリーマップ
空間的なデータを視覚化する場合：地図、散布図、3Dチャート、バブルマップ

また、目的に応じて色の使い方やグラフのレイアウトなどを調整することで、データの可視化における効果的なコミュニケーションを実現することができます。データの解釈を容易にするために、グラフには適切なタイトルや軸ラベル、凡例なども追加することが望ましいです。

ヒストグラムの罠

ヒストグラムは、データの分布を視覚的に表現するための有用なグラフですが、いくつかの罠に注意が必要です。

1つ目の罠は、ビンの幅によってヒストグラムの形状が大きく異なることがあることです。ビンの幅が大きすぎる場合には、データの分布が滑らかに表現されず、詳細な情報が失われる可能性があります。一方で、ビンの幅が小さすぎる場合には、偶然的なばらつきが生じてしまい、正確な分布の形状が捉えられなくなる可能性があります。適切なビンの幅を選択することが、正確なデータ分析のために重要です。

2つ目の罠は、外れ値の影響を受けやすいことです。ヒストグラムは、データの集中部分の情報を表現するために用いられますが、外れ値がある場合には、外れ値の影響を受けて正確な情報が表現されなくなる可能性があります。この場合には、外れ値を除外するなどの対処が必要となります。

3つ目の罠は、複数のヒストグラムを比較する場合に生じることがあります。異なるデータセットのヒストグラムを比較する際には、ビンの幅や数、スケールの違いによって、データの分布が歪んでしまう可能性があります。この場合には、適切なスケールやビンの幅を設定し、正確な比較を行うことが必要となります。

これらの罠に気をつけながら、適切なビン幅やスケールを選択し、正確な分布の情報を把握することが重要です。

理想分布と対応付ける

理想分布を考える

データ分析において、理想分布を考えることは重要です。理想分布とは、データの分布がどのような形をしていると最適なのかを示したものです。

理想分布の形は、分析目的やデータの性質によって異なります。例えば、正規分布は、平均値と分散が分布の形状を決定するため、データのばらつきが小さく、平均値が重要な場合に適しています。一方、指数分布は、時間や距離といった連続した量を表現するのに適しており、生存時間や到着間隔などのデータに用いられます。

理想分布を考えることによって、データがどのような分布をしているかを把握することができます。データが理想分布からどの程度乖離しているかを評価し、適切な統計的手法を選択することができます。また、データの分布が偏っている場合には、変換（例えば、対数変換など）を行うことによって、正規分布に近づけることもできます。

ただし、実際のデータは、理想分布に完全に従っていることはまれであり、常に不確実性があります。したがって、理想分布を考慮しながらも、実際のデータの特徴を正確に把握し、適切な解析手法を選択することが重要です。

パラメータ推定　統計モデリング

パラメータ推定とは、統計モデルにおいて、モデルのパラメータ（例えば、平均や分散など）をデータから推定することです。統計モデルは、観測されたデータに対して確率分布を仮定し、その確率分布のパラメータを推定することによって、データを説明することができます。

パラメータ推定には、最尤推定法やベイズ推定法がよく用いられます。最尤推定法は、観測されたデータに対して尤もらしいパラメータを求める手法であり、ベイズ推定法は、事前分布と呼ばれる仮定分布と観測されたデータを組み合わせて、事後分布と呼ばれるパラメータの確率分布を求める手法です。どちらの手法を選択するかは、問題の性質や目的に応じて決定されます。

統計モデリングは、データの背後にある仕組みを解明し、将来の予測や意思決定に役立てることができます。パラメータ推定によって、モデルのパラメータを正確に推定し、データの特徴を正確に把握することができます。また、モデルの良し悪しを評価するために、残差分析やモデル選択などの手法も用いられます。これらの手法を組み合わせて、より精密な分析や予測を行うことができます。

二項分布

二項分布は、二つの結果がある試行をn回繰り返した場合に、一方の結果が起こる回数を確率変数として扱う離散確率分布の一つです。例えば、サイコロを投げる場合、目が1の場合が起こる回数を考えることができます。

具体的には、成功確率がpである試行をn回繰り返した場合、k回成功する確率は、以下の二項分布の確率関数によって表されます。

P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)

ここで、nCkは二項係数と呼ばれ、n個の物からk個を選ぶ組み合わせの数を表します。

二項分布は、二つの結果がある試行を扱う多くの問題に応用されます。例えば、製品の不良品率を調べる場合、ある部品が正常品である確率がpであるとして、n個の部品を検査した場合に、k個の不良品がある確率を求めることができます。

二項分布の平均値は、npであり、分散はnp(1-p)です。また、大数の法則によって、試行回数nが十分に大きい場合には、二項分布は正規分布に近似されます。

幾何分布・負の二項分布・ポアソン分布・指数分布・ガンマ分布

幾何分布は、二つの結果がある試行を繰り返した場合に、初めて成功するまでに必要な試行回数を確率変数として扱う離散確率分布です。例えば、コインを投げて表が出るまでの回数を考えることができます。

負の二項分布は、二つの結果がある試行を繰り返した場合に、k回目の成功までに必要な試行回数を確率変数として扱う離散確率分布です。幾何分布と異なり、成功回数kが事前に与えられます。

ポアソン分布は、単位時間や単位面積などの時間や空間の単位あたりに起こる現象の回数を確率変数として扱う離散確率分布です。例えば、一日あたりの交通事故件数を考えることができます。

指数分布は、単位時間あたりに起こる現象の待ち時間を確率変数として扱う連続確率分布です。例えば、ある店舗での来店間隔を考えることができます。

ガンマ分布は、指数分布を一般化した連続確率分布であり、待ち時間が複数の指数分布に従う場合に用いられます。また、ポアソン分布の拡張版である負の二項分布の事前分布としても利用されます。

これらの分布は、それぞれ異なる性質を持っており、様々な現象のモデリングに応用されます。

裾野厚い分布

裾野が厚い分布とは、分布の両端が急速に減少せず、極端な値が生じる可能性がある分布のことを指します。裾野が厚い分布は、平均や中央値に代表される典型的な統計量が、データをうまく表現できないことがあります。

一般に、裾野が厚い分布として知られているのは、以下のような分布です。

ロングテール分布：極端に大きな値が生じる可能性がある分布。代表的なものに、べき乗則分布や対数正規分布などがあります。
カーチス分布：極端に小さい値もしくは大きな値が生じる可能性がある分布。代表的なものに、指数分布やワイブル分布などがあります。

裾野が厚い分布は、多様な現象において観測されます。例えば、自然言語の単語出現頻度や、SNSでのいいね！数などが挙げられます。これらのデータに対して、平均や中央値といった代表的な統計量を求めることは、分布の特性を捉えるために十分ではありません。そのため、裾野が厚い分布に対しては、中央値や平均値といった代表的な統計量とともに、分位点や尖度、歪度といった分布の形状を表す指標を使って分析することが重要です。

対数正規分布

対数正規分布は、正規分布の対数をとったものが従う確率分布です。そのため、自然界や社会現象において、生じる現象が正の値をとる場合に適しています。対数正規分布は、非負の連続値をとるデータを扱うときに有用であり、多くの分野で利用されています。

対数正規分布の確率密度関数は、以下の式で表されます。

f(x|μ,σ) = 1 / (xσ√(2π)) * exp[-(log(x) – μ)^2 / (2σ^2)]

ここで、μは平均の対数、σは対数の標準偏差を表します。また、対数正規分布の平均値はexp(μ + σ^2/2)、分散は(exp(σ^2) – 1)exp(2μ + σ^2)で求められます。

対数正規分布は、その名前の通り、対数をとると正規分布になる性質を持っています。そのため、正規分布で扱いにくい、データの右側に裾野の厚い分布に適用することができます。また、対数正規分布を用いることで、正規分布の性質を利用しながら、非負のデータに対してもパラメータ推定やモデル検定を行うことができます。

対数正規分布は、金融や医療分野、環境科学や社会学など様々な分野で用いられています。例えば、金融市場における株価や為替レート、医療分野における血清学的データなどが対象として挙げられます。

パレート分布・レヴィ分布・ワイブル分布

パレート分布は、裾野が厚く、パレートの法則で知られる現象をモデル化するために使用される確率分布です。パレート分布は、次の確率密度関数で表されます。

f(x|α,xm) = (α/xm) * (x/xm)^(-α-1)

ここで、αは形状パラメータであり、xmは最小値パラメータです。パレート分布は、対数をとることで正規分布に近づく性質があります。

レヴィ分布は、裾野が極端に厚く、長尾分布として知られる現象をモデル化するために使用される確率分布です。レヴィ分布は、次の確率密度関数で表されます。

f(x|μ,c) = (1 / (xσ√(2π))) * exp[-(log(x) – μ)^2 / (2c^2)]

ここで、μは平均、cは尺度パラメータです。レヴィ分布は、対数正規分布の一般化であり、対数正規分布よりも急速に裾野が減少します。

ワイブル分布は、極端な値が生じる可能性がある負の二項分布をモデル化するために使用される確率分布です。ワイブル分布は、次の確率密度関数で表されます。

f(x|α,β) = (α/β) * (x/β)^(α-1) * exp(-(x/β)^α)

ここで、αは形状パラメータであり、βは尺度パラメータです。ワイブル分布は、裾野が厚く、尺度パラメータβによって分布の広がりが調整されます。ワイブル分布は、負の二項分布と異なり、連続分布であるため、確率密度関数の値が正である区間に対して積分することで、確率を求めることができます。

累積分布関数で経験分布と理論分布を比較

経験分布と理論分布を比較する際には、累積分布関数を用いることができます。累積分布関数は、ある確率変数Xがある値以下となる確率を表す関数であり、次のように定義されます。

F(x) = P(X <= x)

経験分布と理論分布を比較する際には、まずは両方の分布の累積分布関数を求めます。次に、実測値の分布と理論分布の分布をグラフにプロットし、それらの形状を比較します。このとき、累積分布関数を用いることで、実測値と理論分布の分布の違いをより明確に比較することができます。

また、累積分布関数を用いることで、実測値の分布が理論分布に従うかどうかを検定することもできます。例えば、Kolmogorov-Smirnov検定やAnderson-Darling検定を用いて、実測値の分布が理論分布に従うかどうかを判断することができます。

時系列データとは

時系列データとは、時間の経過に伴って観測されるデータのことを指します。例えば、株価や気温、人口、売上などは、時系列データの一例です。時系列データは、時間の観点から分析することができるため、トレンドや周期性、季節性などの特徴を把握することができます。

時系列データは、一般的には、等間隔で観測される連続したデータとして表現されます。例えば、1日ごと、1時間ごと、1分ごとなどの一定の時間間隔でデータが得られた場合には、等間隔で観測された時系列データとして扱うことができます。

時系列データには、ランダムな変動やトレンド、周期性、季節性などの特徴があることがあります。ランダムな変動は、一定の傾向やパターンがないランダムな変動を指し、トレンドは長期的な変化を指し、周期性は一定の周期で繰り返される変化を指し、季節性は季節に応じた変化を指します。これらの特徴を把握することで、時系列データをより深く理解することができます。

周期成分の分離

周期成分を分離するためには、時系列データからトレンド成分を取り除くことが一般的です。トレンド成分を取り除くことで、残された成分は、ランダム変動成分と周期成分となります。

トレンド成分を取り除く方法には、移動平均法やローパスフィルター法があります。移動平均法は、一定の期間のデータの平均値を取ることで、トレンドを取り除く方法です。ローパスフィルター法は、周波数が低い成分を通し、高い成分をカットすることで、トレンド成分を取り除く方法です。

トレンド成分を取り除いた後、残った成分から周期成分を抽出するために、フーリエ変換やウェーブレット変換などの手法が使用されます。フーリエ変換は、時系列データを周波数領域に変換することで、周期成分を抽出する方法です。ウェーブレット変換は、周波数の異なる複数の波形で時系列データを分解することで、周期成分を抽出する方法です。

周期成分を抽出することで、時系列データの特徴をより深く理解することができます。例えば、季節性を持つ時系列データの場合には、周期成分を抽出することで、1年間を通じた季節性のパターンを把握することができます。周期成分を抽出することで、時系列データの予測や分析に役立つ情報を得ることができます。

周期変動

周期変動とは、時系列データに周期性がある場合に、その周期性に基づく変動を指します。周期変動は、一定の周期で繰り返される変化が観測されることによって生じます。

周期変動を持つ時系列データは、季節性を持つデータやサイクルを持つデータなどがあります。季節性を持つデータは、一年周期で繰り返される傾向を示し、サイクルを持つデータは、それ以上の期間で繰り返される傾向を示します。

周期変動を分析するためには、周期成分の抽出が必要となります。周期成分は、時系列データからトレンド成分を取り除いた後、残された成分のうち、周期的な変動を示す成分です。周期成分を抽出することで、周期変動を可視化することができます。

周期変動は、時系列データにおいて重要な特徴の一つであり、経済指標や天候データなど、様々な分野で観測されます。周期変動を理解することで、将来の予測やトレンドの予測、または特定のイベントが周期変動にどのように影響を与えるかを分析することができます。

周期変動の取り除き方

周期変動を取り除く方法の一つに、差分法があります。差分法は、時系列データから前の時点との差分をとることで、周期変動を取り除く方法です。周期変動を持つデータでは、周期が短い場合には、差分をとることで周期成分を取り除くことができます。

具体的には、周期がTである場合には、T期間ごとに差分を取ります。すなわち、t期におけるデータy(t)の周期成分をd(t)とすると、d(t)は以下の式で計算できます。

d(t) = y(t) – y(t-T)

この式により、t期におけるデータy(t)と、T期前のデータy(t-T)の差分をとることで、周期成分d(t)を計算することができます。周期成分を取り除いた残差系列は、ランダム変動の成分を含むことになります。

差分法は、周期が短い場合には有効な方法ですが、周期が長い場合には効果が低下することがあります。この場合には、周期成分の抽出に専用の手法を使用する必要があります。

過去の影響を自己相関で見る

過去の影響を調べるためには、自己相関を調べることが一般的です。自己相関は、時系列データの過去の値と現在の値の関係を調べるための統計量であり、過去の影響を評価するために重要な指標となります。

自己相関を求めるには、自己相関係数と呼ばれる統計量を用います。自己相関係数は、時系列データのk期前と現在の値の相関係数を表します。k期前と現在の値が正の相関を示す場合には、自己相関係数は正の値をとり、負の相関を示す場合には、自己相関係数は負の値をとります。自己相関係数は、-1から1の範囲の値をとります。

自己相関係数を求めるためには、時系列データの自己相関関数を用いることができます。自己相関関数は、自己相関係数を時間差kごとに計算した関数であり、以下の式で表されます。

r(k) = cov(y(t), y(t-k)) / (std(y(t)) * std(y(t-k)))

ここで、covは共分散、stdは標準偏差を表します。自己相関関数を求めることで、時間差kごとに自己相関係数を計算することができます。自己相関関数は、プロットすることで自己相関のパターンを可視化することができます。

自己相関を調べることにより、過去の影響を評価することができます。自己相関が高い場合には、過去の値が現在の値に影響を与えることが考えられます。このような場合には、過去の値を説明変数として、現在の値を目的変数とした回帰分析などの手法を用いることができます。

自己相関係数

自己相関係数は、時系列データのk期前と現在の値の相関係数を表す統計量であり、過去の影響を調べるために重要な指標となります。自己相関係数は、以下の式で表されます。

r(k) = cov(y(t), y(t-k)) / (std(y(t)) * std(y(t-k)))

ここで、covは共分散、stdは標準偏差を表します。自己相関係数は、-1から1の範囲の値をとります。kが0の場合には、自己相関係数は1となります。kが正の値の場合には、k期前と現在の値が正の相関を示す場合には自己相関係数は正の値をとり、負の相関を示す場合には自己相関係数は負の値をとります。kが負の値の場合には、正の相関を示す場合には負の値を、負の相関を示す場合には正の値をとります。

自己相関係数を求めることにより、時系列データにおける過去の影響を調べることができます。自己相関係数が高い場合には、過去の値が現在の値に影響を与えることが考えられます。自己相関係数を用いて、過去の値を説明変数として、現在の値を目的変数とした回帰分析などの手法を用いることができます。また、自己相関係数をプロットすることで、自己相関のパターンを可視化することができます。

８．変数の間の相関を見る

二つの量を比べる

二つの量を比較するためには、比較する方法によって使う統計量が異なります。

一般的な比較方法として、平均値の差を検定する方法があります。二つのグループがある場合には、t検定や対応のある場合には対応のあるt検定を用いて、平均値の差が統計的に有意かどうかを検定することができます。

また、二つの量が比例関係にあるかどうかを調べる場合には、相関係数を用いることができます。相関係数は、-1から1の値をとり、二つの量が正の相関を示す場合には正の値をとり、負の相関を示す場合には負の値をとります。相関係数が1に近い場合には、強い正の相関があることを示し、-1に近い場合には強い負の相関があることを示します。

また、二つのグループの分布が異なる場合には、カイ二乗検定やフィッシャーの正確確率検定などの非パラメトリック検定を用いることができます。

以上のように、二つの量を比較するためには、比較する方法によって適切な統計量や検定方法が異なるため、目的やデータの性質に応じて適切な方法を選択する必要があります。

ばらつきと結果の重み

ばらつきと結果の重みの関係については、一般的には「大きなばらつきを持つデータには小さな重みを与えるべき」と考えられます。

例えば、ある検査において、測定された値にはばらつきがあり、その値が基準値から大きく外れるほど患者の状態が悪いと判断されるとします。この場合、ばらつきが大きい値を持つ患者に対しては、小さな重みを与えることで、結果における偏りを補正することができます。一方で、ばらつきが小さい値を持つ患者に対しては、大きな重みを与えることで、その値がより重要な意味を持つようにすることができます。

このように、データのばらつきが大きい場合には、重みを調整して適切な分析を行うことが重要です。また、統計的手法によっては、ばらつきが大きいデータに対して自動的に重みを調整する機能を持っているものもあります。適切な分析手法を選択し、データのばらつきと結果の重みの関係を適切に考慮することが、正確な結果を得るために必要です。

仮説検定は、データから得られた結果が、偶然によるものなのか、真の差異や関係性を示しているものなのかを統計的に判断するための方法です。

仮説検定の考え方は、以下のステップで行われます。

帰無仮説の設定

帰無仮説とは、検定対象のデータに対して何も差異がない、関係性がないといった仮説のことです。
例えば、二つのグループに差異がない、二つの変数に関係がない、などが帰無仮説になります。

対立仮説の設定

対立仮説とは、帰無仮説の否定の仮説のことです。
例えば、二つのグループに差異がある、二つの変数に関係がある、などが対立仮説になります。

検定統計量の計算

検定統計量は、データから得られた統計量のことで、帰無仮説が正しい場合の分布を仮定し、その分布から検定統計量を計算します。
検定統計量には、t値、F値、χ二乗値などがあります。

有意水準の設定

有意水準とは、帰無仮説が正しいと仮定したときに、誤って帰無仮説を棄却してしまう確率のことです。
一般的に、有意水準は0.05や0.01が使われます。

検定統計量の比較と棄却域の設定

検定統計量を帰無仮説の分布と比較し、その分布の中での位置を求めます。
このとき、有意水準と分布から、棄却域を設定します。検定統計量が棄却域に入る場合には、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用します。

結論の導出

検定統計量が棄却域に入る場合には、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採用します。
検定統計量が棄却域に入らない場合には、帰無仮を採用します。

帰無仮説・対立仮説

帰無仮説と対立仮説の具体例を示します。

例えば、ある製品の製造ラインの改善を行った場合、その効果を検証するために、製品の重量を計測し、改善前と改善後の重量に差異があるかどうかを検証するとします。

この場合、帰無仮説は「製品の重量に改善前後で差異がない」という仮説になります。対立仮説は、「製品の重量に改善前後で差異がある」という仮説になります。

帰無仮説：製品の重量に改善前後で差異がない対立仮説：製品の重量に改善前後で差異がある

また、別の例として、ある市場調査で、男女の好みについて調査したとします。このとき、帰無仮説は「男女の好みに差異がない」という仮説になります。対立仮説は、「男女の好みに差異がある」という仮説になります。

帰無仮説：男女の好みに差異がない対立仮説：男女の好みに差異がある

このように、帰無仮説と対立仮説は、調査の目的やデータの性質に応じて設定されます。仮説検定は、帰無仮説を棄却するか否かで、調査の結果を判断する方法として有用です。

棄却する・有意に大きい

「棄却する」とは、仮説検定において、帰無仮説が採択されず、代わりに対立仮説が採択されることを意味します。帰無仮説が棄却されるということは、その検定において有意差があるとされたということです。

有意差とは、帰無仮説が正しいと仮定した場合に、観測された結果が極端に起こりにくいと判断されるほどに異なる場合を指します。つまり、有意差があるとは、帰無仮説が誤っている可能性が高いということを示唆しています。

具体的には、帰無仮説が正しい場合でも、観測されたデータが偶然起こりうる範囲内にある確率が低く、統計的に有意な差があると判断される場合に、帰無仮説が棄却されます。この判断は、有意水準と呼ばれる閾値を設け、その有意水準以下であれば、有意差があると判断されることが一般的です。

有意に大きいとは、帰無仮説が正しい場合でも、観測されたデータが起こる可能性が非常に低く、統計的に極端に異なると判断されることを指します。これは、p値が有意水準以下であることを意味します。具体的には、p値が0.05以下であれば、有意水準が0.05である場合に、有意差があると判断されます。

p値

p値とは、仮説検定において、観測されたデータが帰無仮説に従う確率を表す値です。p値が小さいほど、帰無仮説が正しい場合に観測されたデータが偶然起こりうる範囲内にある確率が低く、帰無仮説が誤っている可能性が高いと判断されます。一般的には、p値が有意水準以下であれば、帰無仮説が棄却され、対立仮説が採択されるとされます。

例えば、ある製品の品質改善について、改善前と改善後の製品の重量を比較した場合、帰無仮説は「改善前後で製品の重量に差異がない」という仮説になります。対立仮説は、「改善前後で製品の重量に差異がある」という仮説になります。このとき、t検定によりp値を求め、p値が有意水準以下であれば、帰無仮説が棄却され、対立仮説が採択されます。

p値は、統計解析において非常に重要な指標の一つであり、多くの場合、結果の判断に使用されます。ただし、p値が小さいといっても、統計的に有意な差があると判断されたからといって、必ずしも実際に意味のある差があるわけではなく、データの背景や解析方法などを総合的に考慮する必要があります。

有意水準

有意水準とは、仮説検定において、帰無仮説を棄却するための判断基準となる閾値のことです。一般的に、有意水準は事前に決められ、その値以下であれば帰無仮説が棄却され、有意差があると判断されます。例えば、有意水準が0.05であれば、p値が0.05以下であれば有意差があると判断されます。

有意水準は、研究の目的やデータの性質に応じて設定されます。一般的に、有意水準を低く設定すれば、有意差があると判断される条件が厳しくなり、帰無仮説が棄却される可能性が低くなります。逆に、有意水準を高く設定すれば、有意差があると判断される条件が緩くなり、帰無仮説が棄却される可能性が高くなります。適切な有意水準を選ぶことは、正しい結果の判断にとって非常に重要です。

ただし、有意水準が低ければ低いほど、誤った帰結（誤った棄却や採択）をする可能性が低くなりますが、偶然的な誤り（第一種の誤り）を犯すリスクが高くなります。このため、有意水準は、研究目的やデータの性質を総合的に考慮して、慎重に決定する必要があります。

仮説検定の使い方

仮説検定は、データの背景に基づいて、ある仮説が正しいかどうかを検証する方法です。一般的に、以下の手順で行います。

帰無仮説と対立仮説を設定する
- 帰無仮説とは、「差異がない」という仮説です。
- 対立仮説とは、「差異がある」という仮説です。
検定統計量を計算する
- 検定統計量は、帰無仮説が正しい場合に期待される結果と、観測された結果との差を表す統計量です。
p値を計算する
- p値は、帰無仮説が正しい場合に、検定統計量が観測された値以上になる確率を表す値です。
p値を有意水準と比較する
- 有意水準とは、帰無仮説を棄却するための判断基準となる値です。
- 通常、有意水準は0.05や0.01などが使われます。
- p値が有意水準以下であれば、帰無仮説が棄却され、対立仮説が採択されます。
結果を解釈する
- 帰無仮説が棄却された場合、対立仮説が採択されます。
- 対立仮説が採択された場合、差異があるという結論になります。
- ただし、仮説検定はあくまでも確率的な解析方法であり、実際の現象と異なる結果が得られる場合もあります。結果の解釈には、慎重かつ総合的な判断が必要です。

仮説検定は、科学的研究やビジネスの意思決定など、様々な分野で使われています。ただし、仮説検定を行う前には、データの背景や目的を明確にし、適切な仮説を設定することが重要です。

t検定による二群比較

t検定は、2つの正規分布からのサンプルを比較するための統計的検定方法の一つで、2つの平均値が等しいかどうかを判断するために用いられます。特に、2つの標本の平均値の差を検定することが多いです。

例えば、ある薬の有効性を調べるために、薬を服用したグループと服用していないグループの2つのサンプルがある場合、2つの平均値が等しいかどうかを検定することができます。

t検定による二群比較の手順は以下の通りです。

帰無仮説と対立仮説を設定する
- 帰無仮説とは、「2つの標本の平均値は等しい」という仮説です。
- 対立仮説とは、「2つの標本の平均値は異なる」という仮説です。
t値を計算する
- t値は、2つの標本の平均値の差を、2つの標本のばらつきから計算した標準誤差で割った値です。
自由度を求める
- 自由度は、標本サイズと標本の分散から計算されます。
p値を計算する
- p値は、t分布の確率密度関数から計算されます。
p値を有意水準と比較する
- 通常、有意水準は0.05や0.01が使われます。
- p値が有意水準以下であれば、帰無仮説が棄却され、対立仮説が採択されます。
結果を解釈する
- 帰無仮説が棄却された場合、対立仮説が採択されます。
- 対立仮説が採択された場合、2つの標本の平均値が異なるという結論になります。

t検定は、2つの標本の平均値の差を比較するための有力な方法ですが、前提条件があるため、注意が必要です。具体的には、2つの標本が正規分布に従っていること、または標本サイズが十分に大きいことが必要です。また、検定結果を解釈する

正規性

正規性とは、データが正規分布に従っているかどうかを表す概念です。正規分布は、平均値を中心として左右対称の釣り鐘型をしており、多くの自然現象や統計データが正規分布に従うとされています。

正規性の検定には、Kolmogorov-Smirnov検定、シャピロ・ウィルク検定、Anderson-Darling検定などがあります。これらの検定は、データが正規分布に従うかどうかを検定するために使用されます。

正規性があるデータは、多くの統計解析手法が適用可能であり、信頼性が高くなるとされています。しかし、実際のデータは正規分布に従わない場合が多く、正規性が必ずしも必要ではないとされることもあります。

そのため、データの正規性を確認することは重要ですが、必ずしも正規性があることが前提となるわけではないことに留意する必要があります。また、正規分布に従わないデータに対しては、非正規分布に適した統計手法を選択することが必要です。

等分散性

等分散性とは、2つ以上のグループ（または変数）の分散が同じであることを指します。等分散性がある場合、異なるグループ（または変数）間での差異を比較する際に、統計的に妥当な方法を適用することができます。

等分散性の検定には、Bartlett検定やLevene検定などがあります。これらの検定では、複数のグループ（または変数）の分散が同じであるかどうかを検定します。

等分散性がない場合、統計解析の結果に偏りが生じる可能性があります。この場合、等分散性があると仮定した解析手法を適用すると、誤った結果を導くことがあります。そのため、等分散性がない場合は、等分散性を考慮した統計手法を選択する必要があります。

一般的には、等分散性がない場合には、ウェルチのt検定やWelch-ANOVAなど、等分散性がない場合でも適用可能な統計手法を使用することが推奨されます。

F検定

F検定は、2つ以上の群の分散が同一であるかどうかを検定するための統計手法です。F検定は、分散比の検定としても知られています。

F検定の計算方法は、各群のサンプルサイズ、平均値、および分散を用いて、F値と呼ばれる統計量を求めます。F値は、各群の分散を比較したものであり、F値が大きいほど、群間の分散差が大きいことを示します。F値は、自由度によって確率分布が決まり、この確率分布からp値を計算することで、群間の分散に有意な差があるかどうかを判断することができます。

F検定は、例えば、薬品を2つ以上の異なる方法で製造した場合に、製造方法による品質の差を検定する場合などに使用されます。また、分散分析 (ANOVA) において、異なる群の分散が等しいかどうかを確認するためにも用いられます。

ただし、F検定は、正規分布に従うデータに対してのみ有効であり、非正規分布に対しては不適切な場合があります。また、等分散性の仮定が必要であるため、等分散性がない場合には、ウェルチのF検定やBartlett検定など、より適切な手法を用いる必要があります。

スチューデントのt検定・ウェルチのｔ検定

スチューデントのt検定は、2つの正規分布から抽出された2つの独立なサンプルを比較するための統計的手法です。2つのサンプルの平均値の差を検定することができます。t検定は、データが正規分布に従っている場合に威力を発揮します。しかし、2つのサンプルの分散が異なる場合、正確な検定ができないため、ウェルチのt検定を用いる必要があります。

ウェルチのt検定は、2つの独立なサンプルの平均値を比較するためのt検定の一種です。サンプルの分散が異なる場合に適用されます。スチューデントのt検定は、分散が等しい場合に使用されるため、分散が等しくない場合にはウェルチのt検定を使用する必要があります。

ウェルチのt検定では、t値の計算にあたり、2つの標本サイズ、2つの標本の平均値、2つの標本の分散を使用します。これらの値を用いてt値を計算し、t分布表から有意水準に対応するt値と比較することで、帰無仮説を棄却するかどうかを決定します。

ウェルチのt検定は、標本サイズが異なる場合や、データの正規性が疑われる場合にも使用することができます。ただし、サンプルサイズが小さい場合には、t分布表の有意水準に対応するt値を見つけるのが困難であることがあります。そのため、大きなサンプルサイズの場合には、スチューデントのt検定を使用することが推奨されます。

ｔ値・ｔ検定

t値は、t検定やt分布を用いた統計解析において、比較する2つの標本平均値の差が、標本誤差の範囲内であるかどうかを判断するために用いられる統計量の一つです。t値は、2つの標本平均値の差を標本誤差で標準化した値であり、以下のように計算されます。

t値 = (標本1の平均値 – 標本2の平均値) / (2つの標本の標準誤差)

ここで、標準誤差は、標本分散から計算される標準偏差を、標本サイズの平方根で割った値です。

t分布は、標準正規分布と同様に、平均値が0で、分散が1の分布ですが、t分布は正規分布と異なり、標本サイズによって分布の形が異なるため、自由度によって異なる確率密度関数を持ちます。t分布の自由度は、標本サイズから求めることができます。

t分布は、t検定などの統計的仮説検定において、帰無仮説を棄却するための臨界値の算出に使用されます。具体的には、t分布表を用いて、有意水準に対応するt値を求め、計算したt値と比較することで、帰無仮説を棄却するかどうかを判断します。

コーエンのｄ

コーエンのd（Cohen’s d）は、2つのグループの平均値の差を標準偏差で標準化した効果量を表す指標です。2つのグループの平均値の差が大きいほど、効果量は大きくなります。具体的には、以下の式で計算されます。

d = (標本1の平均値 – 標本2の平均値) / (2つの標本の標準偏差)

ここで、標準偏差は、2つのグループの標本標準偏差の平均値を用いて計算されます。

効果量は、2つのグループの平均値の差が統計的に有意であるかどうかを判断する際に役立ちます。一般に、dが0.2程度だと小さい効果量、0.5程度だと中程度の効果量、0.8程度以上だと大きい効果量とされます。ただし、dの解釈には、比較する2つのグループの標準偏差の大きさによって影響を受けるため、注意が必要です。

対応のある比較・対応のない比較

統計解析において、2つの群を比較する場合、対応のある比較と対応のない比較があります。

対応のある比較は、同じ被験者や物品に対して2つの条件を比較する場合に用いられます。たとえば、ある商品のA版とB版を同じ被験者に試してもらい、どちらが好まれるかを比較する場合などです。この場合、同じ被験者に対して2つの条件を比較するため、被験者間のばらつきを考慮する必要があります。対応のある比較には、対応のあるt検定やWilcoxonの符号順位検定などがあります。

対応のない比較は、異なる被験者や物品を用いて2つの条件を比較する場合に用いられます。たとえば、ある薬剤を服用する群とプラセボを服用する群を比較する場合などです。この場合、異なる被験者や物品を用いるため、被験者間のばらつきを考慮する必要があります。対応のない比較には、対応のないt検定やMann-Whitney U検定などがあります。

対応のある比較と対応のない比較では、分析の方法や結果の解釈が異なるため、分析前にどちらの比較を用いるかを慎重に検討する必要があります。

対応のあるｔ検定・ウィルコクソンの符号順位検定

対応のあるt検定とウィルコクソンの符号順位検定は、どちらも対応のあるデータを比較する統計的手法です。

対応のあるt検定は、2つの群の平均値の差を比較する方法であり、正規分布に従うデータに適用されます。データが正規分布に従わない場合は、非対称分布に近い場合にはウィルコクソンの符号順位検定を用いることができます。

ウィルコクソンの符号順位検定は、対応のある2つの群のうち、対応の差（つまり、1つ目の群のデータから2つ目の群のデータを引いた値）を符号で表したものを用いて、群間の差を比較する方法です。符号順位検定は、正規分布に従わない非対称分布にも適用でき、対応のあるt検定よりも非対称な分布に対して有効な方法とされています。

どちらの手法を選ぶかは、データの性質や仮定、研究の目的によって異なります。正規分布に従うデータに対しては、対応のあるt検定を用いることが一般的ですが、正規分布に従わないデータや非対称分布に近いデータの場合は、ウィルコクソンの符号順位検定を用いることが適している場合があります。

二つの量の相関を調べる

2つの量の相関を調べるためには、相関係数を用いることが一般的です。

相関係数は、2つの量の間の関係性を示す指標で、-1から1までの値をとります。相関係数が1に近いほど、2つの量が正の相関を持っており、片方が増えるともう一方も増える傾向があることを示し、-1に近いほど、2つの量が負の相関を持っており、片方が増えるともう一方が減る傾向があることを示します。相関係数が0に近い場合は、2つの量には相関がないと考えられます。

相関係数の算出方法には、ピアソンの積率相関係数、スピアマンの順位相関係数、ケンドールの順位相関係数などがあります。ピアソンの積率相関係数は、2つの量が正規分布に従っている場合に用いられ、スピアマンの順位相関係数は、2つの量が順位データである場合や正規分布に従っていない場合に用いられます。ケンドールの順位相関係数は、順位データである場合に用いられます。

相関係数は、2つの量の間に因果関係があるかどうかを示すものではなく、あくまで2つの量の関係性を数値化する指標として用いられます。因果関係を調べるためには、実験計画法や回帰分析などの手法を用いる必要があります。

相関係数の罠

相関係数にはいくつかの罠があります。以下に代表的なものをいくつか挙げてみます。

外れ値の影響：相関係数は外れ値に強く影響を受けます。つまり、外れ値がある場合は相関係数が大きくなる傾向があります。このため、相関係数だけを見て2つの変数が強く相関していると判断する前に、外れ値の有無を確認することが重要です。
非線形な関係性：相関係数は、2つの変数の関係が線形である場合に有効ですが、非線形な関係性を持つ場合には、相関係数が小さくなる場合があります。このため、相関係数を見て、2つの変数の関係性を完全に評価することができない場合があります。
時間的先行性の問題：相関関係があるとしても、どちらが原因でどちらが結果かはわかりません。つまり、時間的先行性があるかどうかを考慮する必要があります。このような場合には、回帰分析や実験計画法などを用いて因果関係を調べる必要があります。
変数の選択：相関係数を用いる場合、比較する変数を適切に選択する必要があります。たとえば、関係があるように見える2つの変数のうち、実際には第3の変数が影響している場合があります。この場合には、第3の変数をコントロールする必要があります。

以上のような罠に注意しながら、相関係数を適切に解釈することが重要です。

相関と仮説検定

相関と仮説検定は異なる概念です。相関は、2つの変数の間に何らかの関係があるかどうかを示す指標であり、相関係数によって表されます。一方、仮説検定は、2つの母集団の間に差があるかどうかを検証するための統計的手法であり、t検定やF検定などが代表的な例です。

ただし、相関があるとしても必ずしも差があるとは限りません。たとえば、2つの変数の相関があるとしても、それが原因と結果の関係性を表すものでない場合、仮説検定によって差があると結論づけることはできません。

一方、仮説検定において、2つの母集団の間に差があると判断された場合、その差が相関に起因するものであるかどうかを調べることもできます。たとえば、2つのグループの間で身長に差があるという仮説検定の結果が得られた場合、その差が体重や性別などの他の要因によるものでないかどうかを調べることができます。

結局のところ、相関と仮説検定は別々に考えることができますが、統計的分析においては、2つの概念を組み合わせて使用することが多いです。

無相関検定

無相関検定とは、2つの変数が独立であるかどうかを検定するための統計的手法です。2つの変数が独立である場合、その間に相関がないということになります。

無相関検定は、カイ二乗検定やフィッシャーの正確確率検定などがあります。具体的には、2つの変数のクロス集計表を作成し、期待度数と観測度数の差が統計的に有意なものかどうかを検定します。

無相関検定は、2つの変数の間に直線的な関係がない場合でも、2つの変数が独立であるかどうかを検定することができるため、重要な統計的手法の1つです。

効果量とp値の解釈

効果量とp値は、統計的な分析結果の解釈において共に重要な指標です。

効果量は、2つのグループや変数の間にどの程度の差があるかを表す指標です。一般的に、効果量が大きければ大きいほど、2つのグループや変数の間に差があることを示し、効果量が小さい場合には差が小さいか、あるいは全くない可能性があります。効果量は、Cohen’s dやPearsonの相関係数などの統計量によって表されます。

一方、p値は、検定結果の統計的な有意性を示す指標です。p値が小さい場合には、検定結果が偶然によるものではなく、統計的に有意な差や相関があることを示します。一般的に、p値が0.05以下であれば、統計的に有意な差や相関があるとされます。ただし、p値が小さいからといって必ずしも実用的な意義があるとは限りません。

効果量とp値は、統計的な分析結果を理解する上で重要な指標であり、両方を考慮しながら結論を導くことが望ましいです。たとえば、p値が小さい場合でも効果量が小さい場合には、実用的な意義があるかどうかは慎重に考慮する必要があります。また、効果量が大きくてもp値が大きい場合には、偶然の結果である可能性があるため、慎重に判断する必要があります。

p値に関するよくある誤解

p値には、以下のようなよくある誤解があります。

p値が0.05以下であれば、結果は有意差があると判断できる。 → p値が小さいからといって必ずしも実用的な意義があるとは限りません。p値が小さくても、効果量が小さければ、実用上の意義がないかもしれません。
p値が0.05以上であれば、結果は無意味であると判断できる。 → p値が大きくても、効果量が大きければ、結果に実用上の意義があるかもしれません。また、標本サイズが小さい場合には、p値が大きくなることがあるため、p値だけで判断するのは危険です。
p値が小さい場合は、統計的な有意差があるということは必ずしも実際の差があるとは限らない。 → 統計的に有意であっても、実際には差がない場合があります。また、実際に差があっても、検定の方法やデータの取り方によって結果が変わることがあるため、慎重に判断する必要があります。
p値が0.05よりも小さい場合は、信頼区間が必ずしも有意水準を含んでいるとは限らない。 → p値が小さい場合でも、信頼区間が有意水準を含んでいない場合があります。信頼区間は、標本データから得られる統計量の範囲を推定するための指標であり、p値とは別の指標です。

以上のように、p値にはよくある誤解があります。p値を含めた統計解析結果を適切に理解するためには、その解析方法や結果の信頼性について、慎重に考慮する必要があります。

というわけで、今回は以上です。大変お疲れ様でした。
引き続きで、徐々に発信していきます。

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